Nukleárna Magnetická Rezonancia na Slovensku

1.6.1 Mechanizmus NMR relaxácie

Základným mechanizmom relaxácie spinov s I=1/2  sú ich interakcie s náhodnými magnetickými poľami od susedných spinov, elektrónov a paramagnetických látok vo vzorke. Pôsobenie týchto náhodných magnetických polí si možno predstaviť ako sériu krátkych náhodných impulzov na spiny v rôznych lokalitách vzorky.

Medzi najdôležitejšie náhodné polia generované v rámci molekuly patria polia vybudené interakciou B0 s elektrónovým oblakom molekuly (tieto polia súvisia s tzv. chemickým posunom spinov) a polia súvisiace interakciou medzi dvojicou spinov prenášanou priamo cez priestor (označenie DD interakcie) alebo prenášanou nepriamo cez väzby prostredníctvom väzbových elektrónov (označenie J interakcie). Okrem relaxácie tieto interakcie sú “zodpovedné” aj za vznik a vzhľad NMR spektier a ich podrobnejšia diskusia je uvedená nižšie.

Charakteristika náhodných magnetických polí

Zdrojom pohybu atómov a molekúl generujúcich premenlivé magnetické je tepelný pohyb vo vzorke. Ten je ovplyvnený skupenským stavom vzorky, jej teplotou a viskozitou ako aj veľkosťou a tvarom molekúl. Je to náhodný chaotický pohyb, ktorého časový priebeh a frekvenčné spektrum sú ukázané na obrázku 13.

Náhodný pohyb sa charakterizuje pomocou tzv. autokorelačnej funkcie G(t,τ). Je to funkcia času (zvaná tiež pamäťová funkcia), ktorá porovnáva stav nejakej vlastnosti systému v počiatočnom čase t so stavom tej istej vlastnosti v čase t+τ. Ako príklad skúmanej vlastnosti systému uvažujme hodnotu magnetického poľa medzi dvojicou spinov I a S nachádzajúcich sa v tej istej molekule. Veľkosť a orientácia vektora ktorým spin S pôsobí na spin I budú vo všeobecnosti pre každú molekulu iné a budú sa s časom pri pohybe molekúl meniť. Označme vektor magnetického poľa, ktorým spin S pôsobí na spin Ii-tej molekule v čase t ako Bi(t) a v čase t+τ ako Bi(t+τ) a urobme ich vektorový súčin. Následne urobme rovnaký vektorový súčin Bk(t).B*k(t+τ) vo všetkých molekulách vzorky. G(t,τ) potom možno vyjadriť ako súborové spriemernenie tohto súčinu:  G(t,τ) = 1/N Σi Bi(τ).B*i(t+τ), kde N je počet molekúl vo vzorke. Pre stacionárny náhodný proces (náhodný proces, ktorého charakter sa s časom nemení) autokorelačná funkcia nie je závislá od počiatku merania času t ale iba od dĺžky intervalu τ : G(τ)=1/N Σi Bi(0).B*i(τ).

Uvažujme aký bude časový vývoj funkcie G(τ). V čase τ =0 sú vo všetkých molekulách vektory Bi(0) a B*i(τ=0) totožné a teda ich súčin bude kladný: Bi(0).B*i(0) ≧ 0. G(0) je teda tvorená iba súčtom nezáporných čísiel (súčet štvorcov veľkosti vektorov) a preto G(0) bude mať kladnú hodnotu.

Po veľmi krátkom intervale τ možno predpokladať, že veľkosť i orientácia vektora Bi(τ) budú zmenené iba veľmi málo. Zmeny veľkosti Bi(τ)  môžu byť kladné i záporné a  ich vplyv na zmenu hodnoty autokorelačnej funkcie bude do značnej miery kompenzovaný a možno ho zanedbať. Na druhej strane zmena orientácie Bi(τ) jednoznačné umenšuje hodnotu skalárneho súčinu vektorov Bi(0) aB*i(τ) čo sa prejaví na zmenšení hodnoty G(τ). Postupom času sa orientácia vektorov Bi(0) a B*i(τ) bude z pôvodne usporiadaného paralelného stavu meniť na štatistický náhodný stav. V súčte definujúcom Σi Bi(0).B*i(τ) budú pribúdať záporne členy a pamäťová funkcia sa bude blížiť k nulovej hodnote G(τ) → 0.

Nulovú hodnotu G(t), ktorá sa teoreticky dosiahne pri τ →∞ možno považovať za jej rovnovážnu hodnotu. Odchýlku G(τ) od tejto rovnovážnej hodnoty potom podobne ako pri iných termodynamických procesov možno považovať za hnaciu silu jej časového vývoja. Dostaneme sa takto k exponenciálnemu vyjadreniu časovej závislosti pamäťovej funkcie:  G(τ) = G(0). exp(-τ /τ c), kde konštanta τ c charakterizuje rýchlosť zániku pamäťovej funkcie. Konštanta τ c sa nazýva korelačný čas a charakterizuje rýchlosť zániku pamäťovej funkcie.  Číselne je τ c rovný priemernému času potrebnému na zmenu orientácie vektora Bi(τ) o 1 radián.
Za čas τ =τ c poklesne hodnota G(τ) na cca 37% pôvodnej maximálnej hodnoty G(0).

Keďže vidíme, že G(τ) má podobnú štruktúru ako NMR signál v časovej doméne. Konštanta τ c sa nazýva korelačný čas a charakterizuje rýchlosť zániku pamäťovej funkcie.  Číselne je τ c rovný priemernému času potrebnému na zmenu orientácie vektora Bi(τ) o 1 radián.

Pretože náhodné procesy prebiehajú rovnakým spôsobom aj pri posune času t do minulosti (do záporných hodnôt) je funkcia G(t) symetrická okolo počiatku (τ =0). Čo možno zapísať ako 

G(τ) = G(0).exp(-|τ |/τ c)

pričom τ sa mení od –∞ do +∞. Fourierovou transformáciou G(τ) sa získa frekvenčné spektrum (spektrálna funkcia) náhodných pohybov J(ω), ktoré zobrazuje distribúciu náhodných pohybov závislú od hodnoty τ c ako funkciu ich frekvencie ω.

G(0).exp(-|τ|/τ c)  — FT J(ω) = k.(τ c/[1+ (ωτ c) 2]) = k. j(ω)

, kde konštanta k závisí od závisí od amplitúdy náhodných polí Bi(t); j(ω)= J(ω)/k= (τ c/[1+ (ωτ c) 2]), tzv. redukovaná spektrálna hustota súvisí iba s frekvenčnou distribúciou náhodných polí.

Rôzne spiny viazané v tej istej molekule budú pociťovať náhodné polia s rovnakou frekvenčnou distribúciou len v prípade rigidných, sféricky symetrických molekulách. Pre nesymetrické molekuly a molekuly, ktorých fragmenty vykazujú rôznu pohyblivosť je popis náhodných procesov ovplyvňujúcich ich relaxáciu zložitejší a čitateľ si ho môže nájsť v literatúre [1-3].

[1a] Lipari, G., & Szabo, A. (1982). Model-free approach to the interpretation of nuclear magnetic resonance relaxation in macromolecules. 1. Theory and range of validity. Journal of the American Chemical Society, 104(17), 4546–4559. doi:10.1021/ja00381a009.

[1b] Lipari, G., & Szabo, A. (1982). Model-free approach to the interpretation of nuclear magnetic resonance relaxation in macromolecules. 2. Analysis of experimental results. Journal of the American Chemical Society, 104(17), 4559–4570. doi:10.1021/ja00381a010 

[2] Redfield, A. G. (2007). Relaxation Theory: Density Matrix Formulation. Encyclopedia of Magnetic Resonance. doi:10.1002/9780470034590.emrstm0463 

[3] Wangsness, R. K., & Bloch, F. (1953). The Dynamical Theory of Nuclear Induction. Physical Review, 89(4), 728–739. doi:10.1103/physrev.89.728

 

Obr. 13. Hore: priebeh náhodného magnetického poľa Bτ pôsobiaceho na spiny. Dole vľavo: funkcia Gτ vyjadrujúca koreláciu stavu systému v čase τ so stavom v čase τ =0 (v tomto prípade korelácia súborovo spriemerovanej hodnoty Bτ), korelačný čas τc charakterizuje rýchlosť zániku korelácie (rýchlosť straty podobnosti s pôvodným stavom). Dole vpravo: Jω spektrálna funkcia (získaná Fourierovou transformáciou (FT) korelačnej funkcie Gτ) vyjadrujúca hustotu/intenzitu rôznych frekvenčných zložiek v poli Bτ. Priebeh Jω pre konkrétne hodnoty τc platí pre rezonančnú frekvenciu 500MHz.    

Pre relaxáciu spinov je dôležitá hustota náhodných pohybov v určitých špecifických frekvenčných oblastiach. Pre všetky relaxačné mechanizmy (pozri nižšie) sú to najmä 2 frekvenčné oblasti Jω na obr.13 vyznačené šedou farbou. Je to oblasť rezonančnej frekvencie spinov (oblasť frekvencie tzv. jednokvantových spektrálnych prechodov) a oblasť v blízkosti nulových frekvencií. Pri relaxačných mechanizmoch spojených so silnou vzájomnou interakciou spinov je dôležitá spektrálna hustota aj oblasti s frekvenciou rovnou frekvencií tzv. viackvantovým spektrálnym prechodom (pozri v ďalšom: dipól-dipólová relaxácia) .

Efektivita relaxácie spinov závisí najmä od hustoty spektrálnych pohybov v oblasti rezonancie spinov (v grafe Jω oblasť ω/ω0~1). Vyplýva to z faktu, že z-zložku magnetizácie Mz možno efektívne zmeniť iba poľom Bτ ktorého frekvencia je blízka frekvencií precesie spinov (pozri závislosť účinku B1 od ofsetu). V závislosti od orientácie B1 jeho impulzami môžu zmeniť orientáciu všetkých zložiek magnetizácie vzorky (Mz↔ My, Mz↔ Mx , Mx↔ My). Náhodné polia Bτ s frekvenciou blízkou rezonančnej frekvencií spinov majú v tomto smere rovnaké vlastnosti a preto budú rovnakým spôsobom prispievať k zmene a teda aj relaxácií Mz Mxy. Jediný rozdiel medzi pôsobením B1 a polí Bτ je, že B1 počas svojho trvania pôsobí v každom okamžiku na všetky spiny vo vzorke rovnako, kým impulzy Bτ  generované tepelným pohybom molekúl sú náhodné v čase i mikroskopickej lokalite svojho pôsobenia. Hustota pohybov Bτ na rezonancii spinov je maximálna ak tepelný pohyb vo vzorke je charakterizovaný korelačným časom τc = 1/ω0.  Pre spiny s rezonančnou frekvenciou ω0~500 MHz je to korelačný čas τc~0.32ns ako je zrejme z grafov spektrálnych funkcií ukázaných na obr. 13 vpravo.

Príspevok náhodných polí s frekvenciou blízkou nule (ω/ω0~0) k relaxácií spinov súvisí s efektom nehomogenít poľa B0.na stratu fázovej koherencie spinov. Okrem vlastnej nehomogenity poľa B0 (danou nedokonalým naladením cievok vytvárajúcich pole B0 ), ktorá sa s časom nemení a ktorej efekt sa dá eliminovať (spinové echo; pozri neskôr) k časovo premenlivej nehomogenite poľa B0 prispievajú aj náhodné lokálne polia orientované v smere osi z s frekvenciou blízkou nule (pri náhodných poliach s vyššou frekvenciou sa efekt spriemeruje na nulu: efekt prvej polperiódy sa vykompenzuje efektom druhej polperiódy). Rôzna úroveň B0 v rôznych lokalitách vzorky znamená rozdiely v rýchlosti precesie spinov v týchto lokalitách a následne postupnú zmenu ich relatívnej orientácie spinov v rovine xy. Ak vo vzorke bola predtým vytvorená nejaká fázová koherencia (napr. Mxy), tento mechanizmus spôsobuje jej postupný zánik (relaxáciu). Nehomogenity B0 majú pritom zanedbateľný efekt na Mz zložku magnetizácie. Na rozdiel od efektu nehomogenity B0 je ich efekt náhodných poli na Mxy zložku magnetizácie nezvratný.

Najčastejším druhom pohybu s frekvenciou v oblasti Larmorovej frekvencie spinov pri bežných vzorkách z organickej chémie a biochémie je rotačný pohyb molekúl. Korelačný čas τc v tomto prípade znamená štatisticky priemerný čas za ktorý sa molekula pootočí o jeden radián.

Z vyššie uvedeného vyplýva, že relaxácia Mz a Mxy zložiek magnetizácie bude rozdielna, pretože relaxáciu z ovplyvňujú iba náhodné polia s frekvenciou blízkou nule.